Pode ser tentador supor que suas intuições sobre o espaço tridimensional levam a reinos de alta dimensão. Afinal, adicionar outra dimensão simplesmente cria uma nova direção para se movimentar. Não muda as características definidoras do espaço: sua infinidade e sua uniformidade.
Mas diferentes dimensões têm personalidades decididamente diferentes. Nas dimensões 8 e 24, é possível Coloque bolas juntas especialmente com força. Em outras dimensões, existem esferas “exóticas” que parecem irremediavelmente amassadas. E a dimensão 3 é a única que pode conter nós – em qualquer dimensão mais alta, você pode desembaraçar um nó, mesmo segurando suas pontas rapidamente.
Agora, os matemáticos deram os retoques finais em uma história de estranheza dimensional que tem 65 anos. Por muitas décadas, os pesquisadores queriam saber quais dimensões podem hospedar formas particularmente estranhas – tão distorcidas que não podem ser convertidas em uma esfera através de um procedimento simples chamado cirurgia. A existência dessas formas, mostrou os matemáticos, está intimamente entrelaçada com questões fundamentais na topologia sobre as relações entre as esferas de diferentes dimensões.
Ao longo dos anos, os matemáticos descobriram que as formas distorcidas existem nas dimensões 2, 6, 14, 30 e 62. Eles também mostraram que essas formas não poderiam existir em nenhuma outra dimensão – exceto uma. Ninguém poderia determinar o status da dimensão 126.
Três matemáticos agora resolveram esse problema final. Em um papel postado online Em dezembro passado, Weinan Lin e Guozhen Wang da Universidade Fudan em Xangai, junto com Zhouli Xu Da Universidade da Califórnia, Los Angeles, provou que 126 é realmente uma das raras dimensões que podem hospedar essas formas estranhamente distorcidas.
É “um programa muito longo, finalmente terminado”, disse Ulrike Tillmann da Universidade de Oxford.
A prova, que usa uma combinação de cálculos de computador e insights teóricos, é “como um projeto de engenharia monumental”, disse Michael Hopkins da Universidade de Harvard. “É apenas cair o queixo como eles fizeram.”
A hipótese do dia do juízo final
Na década de 1950, o matemático John Milnor Surpreendeu o mundo matemático ao mostrar que a dimensão 7 é lar de esferas “exóticas”. Uma esfera exótica se parece exatamente com uma esfera comum da perspectiva da topologia, que considera apenas as características de uma forma que não muda quando está esticada ou deformada. Mas as duas esferas têm definições incompatíveis de suavidade – uma curva suave em uma esfera comum pode não ser considerada suave em uma esfera exótica. Milnor estava ansioso para explorar e classificar essas esferas exóticas, que em algumas dimensões acabaram sendo raras e em outras pessoas numeradas aos milhares.
Para fazer isso, ele introduziu uma técnica Camada Cirurgia, uma maneira controlada de simplificar uma forma matemática, ou coletor e potencialmente convertê -la em uma esfera exótica. O método se tornaria essencial para o estudo dos coletores de maneira mais geral.
Como o próprio nome sugere, a cirurgia envolve cortar um pedaço de um coletor e depois costurar uma ou mais peças novas ao longo do limite do corte. Você deve costurar nessas novas peças suavemente, sem criar cantos ou bordas nítidas. (Quando se trata de perguntas sobre formas torcidas, os matemáticos também exigem que a cirurgia respeite o “enquadramento” do coletor, um atributo técnico de como o coletor fica no espaço.)
Para ver esse processo em ação, vamos transformar cirurgicamente um toro (a superfície bidimensional de uma rosquinha) em uma esfera (a superfície bidimensional de uma bola):
Samuel Velasco/Quanta revista
O resultado é uma esfera comum – de fato, não há esferas exóticas 2D. Mas em certas dimensões, a cirurgia converte alguns coletores em esferas comuns e outras em esferas exóticas. E, às vezes, há mais uma possibilidade: os coletores que não podem ser convertidos em uma esfera.
Para visualizar esse último cenário, podemos novamente olhar para um toro, só que desta vez daremos algumas reviravoltas especiais para obstruir as cirurgias:
Samuel Velasco/Quanta revista
Os matemáticos provaram que não há cirurgia que possa transformar esse toro torcido em uma esfera, seja regular ou exótico. É uma classe totalmente diferente de variedade.
Em 1960, o matemático francês Michel Kervaire criou um invariante – Um número que você pode calcular para um determinado coletor liso – que é igual a zero quando o coletor pode ser convertido cirurgicamente em uma esfera e 1 quando não puder. Portanto, o toro comum tem um invariante de Kervaire de zero, enquanto o toro torcido tem um invariante de Kervaire de 1.
Kervaire usou seu invariante para explorar a zaraginha de possíveis variedades em diferentes dimensões. Ele até o usou para criar um coletor 10-dimensional que não tenha invariante em Kervaire, zero ou 1-o que significa que esse coletor deve ser tão torto que não pode ter noção sensata de suavidade.
Ninguém imaginou que esse múltiplo poderia existir. Diante do poder dos novos invariantes, os matemáticos correram para determinar os invariantes de Kervaire de variedades em diferentes dimensões.
Dentro de alguns anos, eles provaram que os coletores torcidos de Kervaire invariantes 1 existem nas dimensões 2, 6, 14 e 30. Essas dimensões se encaixam em um padrão: cada número é 2 a menos que uma potência de 2 (por exemplo, 30 é 25 – 2). Em 1969, o matemático William Browder provou que as dimensões deste formulário são os únicos que podem hospedar formas com um invariante de Kervaire de 1.
Era natural supor que os coletores torcidos existissem em todas as dimensões dessa forma: 62, 126, 254 e assim por diante. Com base nessa suposição, um matemático até construiu um edifício inteiro de conjecturas sobre esferas exóticas e outras formas. Mas a possibilidade de que a suposição original possa ser falsa ainda apareceu. Passou a ser conhecido como a hipótese do dia do juízo final, pois falsificaria todas essas outras conjecturas.