Uma gravação vermelha de um brinquedo de esboço contra um fundo roxo leve exibe uma animação de um desenho simples de linha.
Matemática, revelada
Bem -vindo a uma cidade onde Pi é igual a 4 e os círculos não são redondos.
Por Steven Strogatz Ilustrações fotográficas de Jens Mortensen
Cada parcela de “Math, Revealed” começa com um objeto, descobre a matemática por trás dele e a segue para lugares que você não esperaria. Inscrever-se aqui para o boletim do Weekly Science Times para as próximas parcelas.
Uma gravação vermelha de um brinquedo de esboço contra um fundo roxo leve exibe uma animação de um desenho simples de linha.
A gravação de um esboço é uma maravilha da tecnologia da era espacial. É como uma folha de papel, um lápis, uma mesa portátil e uma borracha, todas enroladas em uma.
Um botão desenha linhas horizontais na tela. O outro produz linhas verticais.
Uma gravura vermelha Uma tela de esboço exibe um desenho de linha intrincado, semelhante à “Starry Night” de Van Gogh, contra um fundo roxo leve.
Ao girar os dois botões simultaneamente, você pode desenhar linhas diagonais, curvas suaves ou até prestar homenagem a Van Gogh, como neste esboço Princesa Etch:
A gravação de um esboço tremia de um lado para o outro e a “Starry Night” de Van Gogh desaparece, revelando uma tela clara.
De uma perspectiva matemática, uma gravação de um esboço mostra um espaço em que duas direções, horizontais e verticais, são favorecidas acima de todas as outras.
Mapa de Manhattan, NY, mostrando vários bairros como Harlem, Upper West Side, Times Square e Chelsea, com corpos de água circundantes, contra um fundo roxo leve.
Qualquer pessoa que tenha passado algum tempo em Manhattan estará familiarizado com um espaço como esse. A paisagem da cidade é organizada em torno de duas direções perpendiculares: Uptown/Downtown e Crosstown.
Zoom no mapa de Manhattan e um pequeno táxi amarelo de brinquedo se move no topo do mapa.
De fato, os matemáticos usam termos como geometria de Manhattan ou geometria do Taxicab para descrever espaços como esses. Aqui, a distância entre dois pontos é definida comense como a soma de suas separações horizontais e verticais.
No mapa de Manhattan, duas linhas vermelhas são desenhadas nas ruas para formar um ângulo reto. Cada uma das linhas vermelhas tem um número 1 ao lado delas.
Por exemplo, suponha que você esteja encontrando um amigo na cidade e você tenha que ir a uma milha Crosstown e uma milha para chegar lá por táxi.
Então é natural dizer que você precisa viajar 1 + 1 = 2 milhas por táxi para chegar lá.
No mapa de Manhattan, as linhas vermelhas que formam um triângulo são desenhadas nas ruas, com os dois lados perpendiculares marcados a e b, e a hipotenusa marcada c.
Claro, não foi assim que você aprendeu a calcular distâncias na escola.
Naquela época, você usou o teorema pitagórico, o resultado mais importante em geometria euclidiana. Diz que em um triângulo certo, o comprimento c da hipotenusa satisfaz um2 + b2 = c2onde um e b são os comprimentos dos lados:
No mapa de Manhattan, as linhas vermelhas formando um triângulo são desenhadas nas ruas, com os dois lados perpendiculares marcados um e be a hipotenusa marcada c.
Essa matemática se aplicaria se todas as instruções estivessem igualmente disponíveis para você – digamos, se você fosse um corvo voando acima. Então você percorreria uma distância diagonal cigual à raiz quadrada de 12 + 12 (ou 2), já que ambos um e b Igual 1 milha. A raiz quadrada de 2 é de cerca de 1,41 milhas – isso é c Enquanto o corvo voa.
O mesmo triângulo vermelho no mapa de Manhattan, com linhas perpendiculares marcadas a e b, e a hipotenusa marcada c.
Mas em uma grade governada pela geometria do Taxicab, onde as estradas são o que importa, a distância se torna muito mais simples: um + b = c.
O mesmo triângulo vermelho no mapa de Manhattan, com linhas perpendiculares marcadas a e b, e a hipotenusa marcada c.
Isso se resume a 1 + 1 = 2 milhas percorridas por táxi, como antes.
Um táxi de brinquedo amarelo com um telhado quadriculado fica no topo de um mapa de Manhattan, posicionado nas áreas do Times Square e Midtown West.
Você tem que admitir: a geometria do Taxicab tem suas vantagens!
Close de um táxi de brinquedo amarelo, mostrando listras quadriculadas, “táxi” no sinal do telhado e um logotipo com bandeiras quadriculadas na porta, contra um fundo roxo.
Mas também leva a surpresas.
Um quadro de madeira com quadros de madeira preta e clara alternados, centralizados em um fundo roxo claro.
Por exemplo, como é um círculo de raio 3 nesta geometria baseada em grade?
O mesmo quadro de xadrez de madeira contra um fundo roxo claro, com quatro damas vermelhas, igualmente espaçadas, formando uma forma de diamante e um verificador preto no centro.
Para descobrir, vamos começar desenhando quatro pontos vermelhos, cada um de 3 unidades de um ponto preto central, conforme medido horizontal ou verticalmente.
O mesmo quadro de xadrez de madeira contra um fundo roxo claro, com 12 damas vermelhas, igualmente espaçadas, formando uma forma de diamante e um verificador preto no centro.
Esses não são os únicos pontos que estão a 3 unidades do centro. Todos os novos pontos mostrados também se qualificam, pois estão 1 + 2 = 3 unidades de distância.
O mesmo quadro de xadrez de madeira contra um fundo roxo claro, com quatro linhas vermelhas de comprimento igual formando um diamante.
Pontos com separações horizontais mais verticais, como 1,38 + 1,62, também funcionariam, desde que os dois números somem 3.
Conectando todos os pontos, descobrimos que um círculo na geometria do táxi parece um diamante. Tem cantos e não é redondo. Um dos meus alunos gritou em protesto quando percebeu isso.
O mesmo quadro de xadrez de madeira contra um fundo roxo claro, com um diamante vermelho e traços vermelhos no centro, conectando os cantos da direita e esquerda do diamante.
Ainda mais surpreendente é o valor do PI nessa estranha geometria não euclidiana.
Lembre -se de que o PI é definido como a proporção da circunferência de um círculo e seu diâmetro.
Para encontrar a circunferência, observe que nosso círculo de raio 3 é composto por quatro arcos, os quatro lados do diamante. Cada arco tem 6 unidades de táxi, pois estende 3 unidades horizontalmente e 3 unidades verticalmente.
O mesmo quadro de xadrez de madeira contra um fundo roxo claro, com um diamante vermelho e traços vermelhos no centro e dois numerosos 6s ao lado de um lado do diamante e da linha tracejada central.
Tomados em conjunto, esses quatro arcos produzem um círculo de circunferência 4 × 6 = 24. O diâmetro, por sua parte, tem 6 unidades de comprimento, como mostra a linha tracejada vermelha. Assim, a circunferência dividida pelo diâmetro é igual a 24/6, então o PI é igual a 4 na geometria do táxi.
Um quadro de xadrez de madeira com quadrados de madeira preta e clara alternados, mostrados em um ângulo contra um fundo roxo claro.
Até agora, você provavelmente está se perguntando por que alguém usaria essa geometria estranha. Existem pelo menos dois motivos.
O mesmo quadro de xadrez de madeira em um fundo roxo claro, com um pequeno robô de brinquedo de estilo retrô se movendo através dele.
Em algumas configurações do mundo real, a geometria do táxi é mais conveniente e mais relevante do que a geometria euclidiana. Os engenheiros o usam ao planejar os caminhos mais eficientes para os robôs seguirem ao navegar em uma grade de trilhos em um armazém de atendimento de remessa.
O mesmo quadro de xadrez de madeira em um fundo roxo claro, com um pequeno robô de brinquedo de estilo retrô movendo-se em uma formação quadrada no quadro.
No design de chips de computador, a geometria do táxi facilita a estimativa do comprimento dos componentes eletrônicos que conectam o fio; Isso é importante para otimizar o layout do chip. Da mesma forma, no processamento de imagens digitais, a distância do táxi fornece a maneira mais simples de medir a que distância estão os pixels. Isso é essencial para encontrar esboços e agrupar partes semelhantes da imagem.
Uma tela vermelha de gravação de um desenho exibe um desenho de uma linha de táxi quadriculado, definido como um fundo roxo leve.
Além de seus usos práticos, a geometria do Taxicab abrange nossas suposições sobre o espaço, reimaginando os círculos como formas angulares.
Uma tela vermelha de gravação de um desenho exibe um desenho de uma linha de táxi quadriculado, definido como um fundo roxo leve.
É uma abordagem de uma lição de um esboço: que um brinquedo simples, aparentemente confinado a fazer linhas retas, pode desafiar essa limitação e produzir curvas através da engenhosidade pura.
Em matemática e em jogo, o espírito humano se expressa além das linhas.